Tam kare sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılmasıyla bulunan 1, 4, 9, 16, 25 gibi sayılardır. Aşağıdaki araç yazdığınız sayının tam kare olup olmadığını kesin olarak sınar, tam kare değilse en yakın iki tam kareyi gösterir ve seçtiğiniz aralıktaki bütün tam kareleri listeler. Hesap tarayıcınızda yapılır, 40 haneye kadar sayılarda yuvarlama hatası olmaz.
1. Tam kare sayı nedir?
Bir tam kare sayı, bir tam sayının karesidir: n bir tam sayı olmak üzere n × n = n² biçiminde yazılabilen her sayı tam karedir. 3 × 3 = 9 olduğu için 9, 12 × 12 = 144 olduğu için 144 tam karedir. Buna karşılık 10 tam kare değildir; 3² = 9 ile 4² = 16 arasında kalır ve hiçbir tam sayının karesine eşit olmaz.
Adı geometriden gelir. Kenarları tam sayı uzunluğunda olan bir karenin alanı her zaman bir tam karedir: kenarı 5 birim olan karenin alanı 25 birimkaredir. 25 tane küçük kareyle büyük bir kare kurabilirsiniz, ama 24 ya da 26 tane küçük kareyle kuramazsınız. Alan hesabının ayrıntısı için alan hesaplama aracına bakabilirsiniz.
Tam kare kavramı ortaokul matematiğinde, 8. sınıfta karekök konusuyla birlikte işlenir ve LGS sorularında sık geçer. Sınavda kaç net yaptığınızı görmek için LGS net hesaplama aracını kullanabilirsiniz. Konunun daha geniş anlatımı Vikipedi’deki karekök maddesinde, tam kareler dizisinin kaydı ise OEIS A000290 sayfasında bulunur.
2. Tam kare aracı nasıl kullanılır?
Araçta iki ayrı form vardır: biri tek bir sayıyı sınar, öteki bir aralıktaki tam kareleri listeler. İkisi de sayfa açılır açılmaz örnek bir sonuç gösterir. Kullanım adımları şunlardır:
- Sayıyı yazın. “Sayı tam kare mi?” kutusuna sınamak istediğiniz sayıyı yazın. Binlik ayırıcı olarak nokta kullanabilirsiniz; 1.000.000 ile 1000000 aynı sayılır.
- Kontrol edin. “Kontrol et” düğmesine basın. Sayı tam kareyse karekökü ve n × n yazımı görünür.
- Yakın kareleri okuyun. Sayı tam kare değilse araç hemen altındaki ve üstündeki tam kareyi verir; karekökün hangi iki tam sayı arasında kaldığını buradan görürsünüz.
- Kanıta bakın. 1012’ye kadar olan sayılarda araç asal çarpanları da yazar ve üslerin çift olup olmadığına göre sonucu gerekçelendirir.
- Aralığı listeleyin. Alttaki formda aralığın başını ve sonunu yazıp “Tam kareleri listele” düğmesine basın; araç aralıktaki tam kare sayısını ve listeyi verir.
Liste ekranda en çok 1000 tam kare gösterir; daha geniş aralıklarda toplam sayı yine doğru yazılır, yalnız listenin ilk 1000 satırı görünür. Kesinlik için araç sayıları ondalıklı sayı olarak değil, tarayıcının büyük tam sayı türüyle işler. Bu yüzden 20–30 haneli sayılarda da yanlış sonuç vermez. Karekökün ondalık değerini istiyorsanız karekök hesaplama aracı istediğiniz basamağa kadar hesaplar.
3. 1’den 1000’e kadar tam kare sayılar
1 ile 1000 arasında 31 tam kare vardır. İlki 1² = 1, sonuncusu 31² = 961’dir; 32² = 1.024 olduğundan 1000’i aşar. Bunların ilk 10 tanesi 1 ile 100 arasındadır. Aşağıdaki tabloda 1’den 31’e kadar sayıların kareleri yer alır:
| n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 12 | 144 | 23 | 529 |
| 2 | 4 | 13 | 169 | 24 | 576 |
| 3 | 9 | 14 | 196 | 25 | 625 |
| 4 | 16 | 15 | 225 | 26 | 676 |
| 5 | 25 | 16 | 256 | 27 | 729 |
| 6 | 36 | 17 | 289 | 28 | 784 |
| 7 | 49 | 18 | 324 | 29 | 841 |
| 8 | 64 | 19 | 361 | 30 | 900 |
| 9 | 81 | 20 | 400 | 31 | 961 |
| 10 | 100 | 21 | 441 | ||
| 11 | 121 | 22 | 484 |
Tablodan görüldüğü gibi tam kareler büyüdükçe seyrekleşir. 1 ile 100 arasında 10, 1 ile 1.000 arasında 31, 1 ile 10.000 arasında 100, 1 ile 100.000 arasında 316 ve 1 ile 1.000.000 arasında 1000 tam kare vardır. Kural basittir: 1 ile N arasındaki tam kare sayısı, √N’nin tam kısmına eşittir. 1.000.000’un karekökü 1000 olduğu için o aralıkta tam 1000 tam kare bulunur.
Okulda genellikle 1’den 20’ye ya da 30’a kadar olan sayıların karelerinin ezberlenmesi istenir; bu kareleri bilmek karekök tahmininde ve üslü sayı işlemlerinde işi hızlandırır. Farklı bir aralık için listeyi aracın alt formundan alabilirsiniz.
4. Bir sayının tam kare olduğu nasıl anlaşılır?
Küçük sayılarda kareleri ezbere bilmek yeter, ama sayı büyüdükçe birkaç hızlı eleme işe yarar. Bu elemeler bir sayının tam kare olmadığını gösterebilir; tam kare olduğunu kanıtlamaz.
- Son basamak. Bir tam karenin son basamağı yalnız 0, 1, 4, 5, 6 ya da 9 olabilir. Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayı kesinlikle tam kare değildir.
- Sondaki sıfırlar. Tam karenin sonundaki sıfırların sayısı çifttir. 1.000 sonunda üç sıfır taşıdığı için tam kare olamaz; 10.000 ise 100² olarak tam karedir.
- Son iki basamak 25 ise. 5 ile biten bir tam sayının karesi her zaman 25 ile biter: 15² = 225, 35² = 1.225. 5 ile bitip 25 ile bitmeyen sayı tam kare olamaz.
- Çift ve tek. Çift sayının karesi 4’e tam bölünür. 2’ye bölünüp 4’e bölünmeyen bir sayı, örneğin 18, tam kare değildir.
Bu elemelerden geçen sayı yine de tam kare olmayabilir. Örneğin 21’in son basamağı 1’dir ama 21 tam kare değildir. Kesin karar için ya karekökü alıp tam sayı çıkıp çıkmadığına bakılır ya da sayı asal çarpanlarına ayrılır. Araç ilk yolu büyük tam sayılarla, ikinci yolu kanıt olarak birlikte uygular.
5. Asal çarpanlarla tam kare kontrolü
Her pozitif tam sayı asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır; buna aritmetiğin temel teoremi denir. Bir sayı ancak ve ancak bu yazımdaki bütün üsler çiftse tam karedir. Çünkü n²’nin çarpanları, n’nin çarpanlarının üsleri ikiyle çarpılarak elde edilir.
Örnek 1: 324. 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3⁴. İki üs de çift olduğu için 324 tam karedir. Karekökü, üsleri yarıya bölerek bulunur: 2¹ × 3² = 2 × 9 = 18. Gerçekten de 18 × 18 = 324.
Örnek 2: 1.225. 1.225 = 5² × 7². Üsler çift; karekök 5 × 7 = 35’tir.
Örnek 3: 72. 72 = 2³ × 3². 2’nin üssü 3 olduğu, yani tek olduğu için 72 tam kare değildir. 72’nin hemen altındaki tam kare 64 (8²), hemen üstündeki 81 (9²) olur. 72’yi tam kare yapmak için 2 ile çarpmak yeterlidir: 144 = 2⁴ × 3² = 12².
Asal çarpanlara ayırmayı adım adım görmek için asal sayılar aracını, ortak çarpan bulmak için EBOB EKOK hesaplama aracını kullanabilirsiniz. Bir kökü sadeleştirmek de aynı fikre dayanır: √72 = √(36 × 2) = 6√2.
6. Ardışık tam kareler arasındaki fark
Ardışık iki tam kare arasındaki fark her zaman bir tek sayıdır: (n + 1)² − n² = 2n + 1. 1 ile 4 arasında 3, 4 ile 9 arasında 5, 9 ile 16 arasında 7, 16 ile 25 arasında 9 fark vardır. Fark her adımda 2 artar.
Bunun tersi de doğrudur: 1’den başlayan ardışık tek sayıların toplamı her zaman bir tam karedir. 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. İlk n tek sayının toplamı n²’dir. Bu, büyük kareleri ezbere bilmeden bir sonraki kareyi bulmanın kolay yoludur: 30² = 900 biliniyorsa 31² = 900 + 61 = 961 olur.
Farkın büyümesi, tam karelerin neden seyrekleştiğini de açıklar. Küçük sayılarda tam kareler sık aralıkla gelir, büyük sayılarda aralarındaki boşluk genişler. Bu yüzden 1 ile 100 arasında 10 tam kare bulunurken, 1 ile 1.000 arasında yalnız 31 tam kare bulunur.
7. Tam kare olmayan sayının karekökü nerededir?
Tam kare olmayan bir sayının karekökü tam sayı değildir, ama iki ardışık tam sayının arasındadır. Bu sınırları bulmak için sayının altındaki ve üstündeki tam kareye bakmak yeter. 72, 64 ile 81 arasında olduğu için √72 de 8 ile 9 arasındadır. Araç tam kare olmayan her sayıda bu iki kareyi yazar.
Sınav sorularında “√50 hangi iki tam sayı arasındadır?” biçiminde sorulan bu bilgi, tahmini daraltmanın da ilk adımıdır. 72, 81’den çok 64’e yakın olduğu için √72 de 9’dan çok 8’e yakındır. Ondalık değeri kesin bulmak isterseniz karekök aracını, genel işlemler için hesap makinesi sayfasını kullanabilirsiniz.
Tam kareler yalnız okul konusu değildir. Kare biçimli bir alanın kenarını bulurken de aynı ilişki kullanılır: 144 metrekarelik kare bir odanın kenarı 12 metredir. Bir alanın metrekaresini hesaplamak için metrekare hesaplama aracına, sayıların yazıyla okunuşu için sayıyı yazıya çevirme aracına bakabilirsiniz. Tam kareler dizisinin özellikleri İngilizce Vikipedi’deki square number maddesinde ayrıntılı anlatılır.
8. Sık sorulan sorular
Tam kare sayı nedir?
Bir tam sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilen sayıya tam kare sayı denir. 1, 4, 9, 16 ve 25 ilk beş pozitif tam karedir; örneğin 25 = 5 × 5 olduğu için 25 bir tam karedir.
1 ile 1000 arasında kaç tam kare sayı vardır?
1 ile 1000 arasında 31 tam kare vardır: 1² = 1’den 31² = 961’e kadar. 32² = 1024 olduğu için 1000’i geçer.
324 tam kare sayı mıdır?
Evet. 324 = 18 × 18 = 18² olduğu için tam karedir. Asal çarpanları 2² × 3⁴ biçimindedir ve bütün üsler çifttir.
0 ve 1 tam kare sayı mıdır?
Evet. 0 = 0 × 0 ve 1 = 1 × 1 olduğu için ikisi de tam karedir. Pozitif tam kareler sorulduğunda listeye 1’den başlanır.
Negatif sayılar ya da ondalıklı sayılar tam kare olabilir mi?
Hayır. Bir tam sayının karesi hiçbir zaman negatif olmaz; tam kare tanımı tam sayıların kareleriyle sınırlıdır. Bu yüzden araç negatif ve ondalıklı girişleri kabul etmez.
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayı tam kare olabilir mi?
Olamaz. Tam karelerin son basamağı yalnız 0, 1, 4, 5, 6 ya da 9 olur. Son basamak bu altı rakamdan biri olsa bile sayı tam kare olmayabilir; kesin sonuç için aracı kullanın.