Asal sayılar, 1’den büyük olan ve yalnız iki pozitif böleni bulunan (1 ve kendisi) doğal sayılardır. En küçük asal sayı 2’dir ve 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır. 1 ile 100 arasında 25 asal sayı vardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Aşağıdaki araçla bir sayının asal olup olmadığını bulabilir, asal değilse asal çarpanlarına ayırabilir, iki sayı arasındaki asal sayıları listeleyebilir ya da kaçıncı asal sayının hangisi olduğunu öğrenebilirsiniz. Sonuçlar iki ayrı yöntemle bulunur ve karşılaştırılır; uyuşmazsa araç sonuç göstermez.
1. 1-100 arası asal sayılar
1 ile 100 arasındaki 25 asal sayı onluk gruplara göre aşağıda. Gruplar ilerledikçe asal sayılar seyrekleşir: ilk onlukta 4 asal varken son onlukta yalnız 1 tane vardır.
| Aralık | Asal sayılar | Adet |
|---|---|---|
| 1-10 | 2, 3, 5, 7 | 4 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 | 4 |
| 21-30 | 23, 29 | 2 |
| 31-40 | 31, 37 | 2 |
| 41-50 | 41, 43, 47 | 3 |
| 51-60 | 53, 59 | 2 |
| 61-70 | 61, 67 | 2 |
| 71-80 | 71, 73, 79 | 3 |
| 81-90 | 83, 89 | 2 |
| 91-100 | 97 | 1 |
Bu listede aralarında yalnız 2 fark olan ikiz asallar da görülür. 100’e kadar 8 ikiz asal çifti vardır: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).
2. 101-1000 arası asal sayılar
1 ile 1000 arasında toplam 168 asal sayı vardır; 1 ile 10.000 arasında bu sayı 1.229 olur. Her yüzlükte kaç asal olduğu aşağıdaki tabloda:
| Aralık | Asal sayı adedi |
|---|---|
| 1-100 | 25 |
| 101-200 | 21 |
| 201-300 | 16 |
| 301-400 | 16 |
| 401-500 | 17 |
| 501-600 | 14 |
| 601-700 | 16 |
| 701-800 | 14 |
| 801-900 | 15 |
| 901-1000 | 14 |
101-1000 arası asal sayıların tam listesi
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
3. Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu karekökünü aşmayan asal sayılara bölmeyi denemek yeterlidir. Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır. Karekökten büyük bölenlere bakmak gerekmez, çünkü sayı karekökünden büyük bir sayıya bölünüyorsa karekökünden küçük bir sayıya da bölünür.
Örnek: 97’nin karekökü 9 ile 10 arasındadır. 97; 2, 3, 5 ve 7’ye tam bölünmez, bu yüzden asaldır. 97’den önceki asal sayı 89, sonraki 101’dir.
Hızlı bölünebilme ipuçları
- 2’ye bölünme: son rakam çiftse (0, 2, 4, 6, 8) sayı 2’ye bölünür; 2 dışında hiçbir çift sayı asal değildir.
- 3’e bölünme: rakamları toplamı 3’e bölünüyorsa sayı da bölünür. 51’in rakamları toplamı 6, bu yüzden 51 = 3 × 17 asal değildir.
- 5’e bölünme: son rakam 0 ya da 5 ise sayı 5’e bölünür.
- 7, 11, 13: kolay bir kural yoktur; en güvenli yol bölmeyi denemektir. 91 asal gibi görünür ama 7 × 13’tür.
Asal sanılan sayılar
Ödevlerde en çok karıştırılan sayılar tek ve 3’e, 5’e hemen bölünmüyor gibi görünen sayılardır:
| Sayı | Sonuç | Asal çarpanları |
|---|---|---|
| 91 | Asal değil | 91 = 7 × 13 |
| 51 | Asal değil | 51 = 3 × 17 |
| 57 | Asal değil | 57 = 3 × 19 |
| 87 | Asal değil | 87 = 3 × 29 |
| 1.001 | Asal değil | 1.001 = 7 × 11 × 13 |
| 2.026 | Asal değil | 2.026 = 2 × 1.013 |
4. Asal çarpanlara ayırma
1’den büyük her doğal sayı asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Buna aritmetiğin temel teoremi denir. Çarpanlara ayırmak için sayı en küçük asal bölenine bölünür, çıkan sonuç yeniden bölünür ve 1 kalana kadar devam edilir.
Örnek: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Sonuç: 360 = 23 × 32 × 5. Üslerin birer fazlası çarpılınca pozitif bölen sayısı bulunur: (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24.
Asal çarpanlar EBOB ve EKOK hesabının da temelidir. İki sayının ortak asal çarpanlarından EBOB’u, tüm çarpanlarından EKOK’u adım adım görmek için EBOB EKOK hesaplama aracını kullanabilirsiniz. Bu yılın sayısı da asal değildir: 2026 = 2 × 1.013.
5. Kaçıncı asal sayı hangisi?
Asal sayılar sonsuz sayıdadır; bunu Öklid yaklaşık 2.300 yıl önce kanıtlamıştır. Sayılar büyüdükçe asallar seyrekleşir ama hiç bitmez. Bazı sıralardaki asal sayılar:
| Sıra | Asal sayı |
|---|---|
| 1. | 2 |
| 10. | 29 |
| 25. | 97 |
| 100. | 541 |
| 1.000. | 7.919 |
| 10.000. | 104.729 |
| 100.000. | 1.299.709 |
| 1.000.000. | 15.485.863 |
Tablodaki sıralar aracın “kaçıncı asal” bölümüyle denetlenebilir: sıra numarasını girdiğinizde araç o sıradaki asal sayıyı bulur. Ödevlerde asal sayılarla birlikte sık geçen başka işlemler de vardır: denklemlerde bilinmeyeni bulmak için denklem çözme, oran problemleri için oran orantı hesaplama, büyük sayıları okunuşuyla yazmak için sayıyı yazıya çevirme araçlarını kullanabilirsiniz.
6. Asal sayılar nerede kullanılır?
Asal sayılar yalnız matematik ödevlerinin konusu değildir; günlük hesapların ve dijital güvenliğin arka planında da yer alır. En sık karşılaşılan kullanım alanları şunlardır:
- Kesir sadeleştirme: Pay ve paydayı asal çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirirsiniz. 84/126 kesrinde 84 = 2 × 2 × 3 × 7 ve 126 = 2 × 3 × 3 × 7 olduğu için ortak çarpanların çarpımı 42’dir ve kesir 2/3’e sadeleşir. Bu işlemi adım adım görmek için kesir hesaplama aracını kullanabilirsiniz.
- EBOB ve EKOK: Ortak asal çarpanlar EBOB’u, bütün asal çarpanların en büyük üsleri EKOK’u verir; problemlerde “en az kaç gün sonra yeniden buluşurlar” türü sorular böyle çözülür.
- Üslü ifadeler ve kökler: 360 = 23 × 32 × 5 gibi yazımlar üslü sayılarla yapılır; kök dışına çıkarma işleminde de asal çarpanlar kullanılır. Üslü işlemler için üslü sayı hesaplama sayfasına bakabilirsiniz.
- Şifreleme: İnternette kullanılan bazı şifreleme yöntemleri, çok büyük iki asal sayıyı çarpmanın kolay, çarpımı yeniden asal çarpanlarına ayırmanın ise son derece zor olmasına dayanır. Bankacılık ve güvenli web bağlantılarının bir kısmı bu ilkeyle korunur.
- Sayı oyunları ve olasılık: Seçilen bir sayının asal olup olmadığını tahmin etmek okulda sık oynanan bir oyundur; rastgele sayı üretip araçla kontrol ederek alıştırma yapabilirsiniz. Seçim ve sıralama soruları için kombinasyon hesaplama aracı da işinize yarar.
Asal sayıların ve dizilerin kapsamlı listeleri uluslararası kaynaklarda tutulur: ilk asal sayılar OEIS A000040 dizisinde, bilinen en büyük asal sayılar ve asal sayı kayıtları ise The Prime Pages sitesinde yayımlanır. Bu sayfadaki tablolar bu kaynaklardaki değerlerle aynıdır ve araç her sayıyı ayrıca kendi hesabıyla doğrular.
7. Araç sonucu nasıl doğruluyor?
Araç bir sayının asallığını iki bağımsız yöntemle bulur: karekökü aşmayan bölenlerle deneme bölmesi ve bilgisayarlarda kullanılan Miller-Rabin testi. İkisi farklı sonuç verirse sonuç gösterilmez. Asal çarpanlarda çarpanların çarpımı yeniden hesaplanır ve girilen sayıyla karşılaştırılır. Aralık listeleri Eratosthenes eleğiyle üretilir ve listedeki her sayı ayrıca test edilir.
Araç 1015‘e (1.000.000.000.000.000) kadar sayıları kesin inceler. Negatif ve ondalık sayılar tahmin edilmeden reddedilir, çünkü asallık yalnız 1’den büyük doğal sayılar için tanımlıdır. Karekök ve üslü işlemler için karekök hesaplama ve hesap makinesi sayfalarına bakabilirsiniz.
8. Sık sorulan sorular
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asal sayının tam olarak iki farklı pozitif böleni olmalıdır. 1’in tek böleni vardır (kendisi), bu yüzden ne asal ne bileşik sayıdır.
En küçük asal sayı kaçtır?
En küçük asal sayı 2’dir. 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır; diğer bütün çift sayılar 2’ye bölündüğü için asal değildir.
0 asal sayı mıdır?
Hayır. 0 her pozitif tam sayıya bölünür, sonsuz sayıda böleni vardır.
1-100 arasında kaç asal sayı vardır?
25 tane: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Negatif sayılar asal olur mu?
Hayır. Asal sayı tanımı 1’den büyük doğal sayılar için yapılır; −7 gibi sayılar asal sayılmaz.
Aralarında asal ne demek?
İki sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal denir. 8 ile 15 asal değildir ama aralarında asaldır, çünkü EBOB(8, 15) = 1’dir.