EBOB EKOK Hesaplama: Çözümlü Adımlarla En Büyük Ortak Bölen

EBOB ve EKOK, ortaokul matematiğinin en çok sorulan iki kısaltmasıdır. EBOB en büyük ortak bölen, EKOK ise en küçük ortak kattır. İkisi de sayıların asal çarpanlarından okunur, ama farklı kuralla: EBOB ortak çarpanların en küçük üslerini, EKOK ise bütün çarpanların en büyük üslerini alır.

Aşağıdaki hesaplayıcı size yalnız cevabı vermez. Ödevinizde ya da sınavda istenen çözümü de gösterir: asal çarpanlara ayırma tablosunu, Öklid algoritmasının adım adım işleyişini ve sonucun doğru olduğunu kanıtlayan denetimi.

EBOB nedir?

EBOB, iki ya da daha çok sayının hepsini birden tam bölen en büyük sayıdır. Açılımı “en büyük ortak bölen”dir; bazı kaynaklarda OBEB (ortak bölenlerin en büyüğü) olarak da geçer, ikisi aynı şeydir.

12 ve 18 sayılarını düşünelim. 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18’in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18’dir. Ortak olanlar 1, 2, 3 ve 6’dır; en büyüğü 6 olduğuna göre EBOB(12, 18) = 6.

Bölenleri tek tek yazmak küçük sayılarda işe yarar, büyük sayılarda yorucu olur. Bu yüzden iki pratik yöntem kullanılır: asal çarpanlara ayırma ve Öklid algoritması. İkisini de aşağıda göreceksiniz.

EKOK nedir?

EKOK, sayıların ortak katlarının en küçüğüdür. Açılımı “en küçük ortak kat”tır, OKEK olarak da yazılır.

Aynı örnekte 12’nin katları 12, 24, 36, 48…; 18’in katları 18, 36, 54… biçiminde gider. İlk kez 36‘da buluşurlar, yani EKOK(12, 18) = 36.

Aradaki fark şöyle hatırlanabilir: EBOB sayılardan küçük ya da onlara eşittir, EKOK ise büyük ya da onlara eşittir. EBOB bölmeyle, EKOK çarpmayla ilgilidir.

Yöntem 1: asal çarpanlara ayırma

Okulda önce bu yöntem öğretilir, çünkü EBOB ile EKOK’un neden farklı çıktığını görünür kılar. Her sayı asal çarpanlarına ayrılır:

Bundan sonrası iki kuraldır:

• EBOB için ortak çarpanların en küçük üsleri alınır. Her iki sayıda da bulunan asallar seçilir, üs olarak küçük olan yazılır: EBOB = 2 × 3 = 6.
• EKOK için tüm çarpanların en büyük üsleri alınır. Sayılardan herhangi birinde geçen her asal alınır, üs olarak büyük olan yazılır: EKOK = 2² × 3² = 36.

Bir asal yalnız sayılardan birinde geçiyorsa EBOB’a giremez, çünkü “ortak” olma şartını sağlamaz. EKOK’a ise girer, çünkü o sayının katı olabilmek için o çarpana ihtiyaç vardır. EBOB ile EKOK arasındaki bütün fark bu tek cümlede toplanır.

Yöntem 2: Öklid algoritması

Sayılar büyüdüğünde asal çarpanlara ayırmak zorlaşır. Öklid’in yaklaşık 2.300 yıl önce yazdığı yöntem ise çarpan aramadan, yalnız bölme yaparak EBOB’u bulur.

Kural basittir: büyük sayıyı küçüğe böl, sonra böleni ve kalanı alıp aynı işlemi yinele. Kalan sıfır olduğunda elindeki bölen EBOB’dur. 48 ve 18 için:

Kalan sıfırlandığında son bölen 6‘dır; demek ki EBOB(48, 18) = 6. Aracın sonuç kutusunda bu tablo girdiğiniz sayılar için otomatik olarak üretilir.

EKOK’u ayrıca aramaya gerek yoktur: EBOB bulunduktan sonra aşağıdaki özdeşlikten tek çarpma ve tek bölmeyle çıkar.

EBOB × EKOK = a × b: cevabınızı kendiniz doğrulayın

İki sayı için şu eşitlik her zaman doğrudur:

EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b

Örneğimizde 6 × 36 = 216 ve 12 × 18 = 216. İki taraf eşit olduğuna göre sonuç doğrudur. Sınavda EBOB’u bulduktan sonra EKOK’u buradan çıkarabilir, ya da bulduğunuz iki cevabı saniyeler içinde kontrol edebilirsiniz.

Dikkat: bu özdeşlik yalnız iki sayı için geçerlidir. Üç ve daha fazla sayıda EBOB × EKOK, sayıların çarpımına eşit olmak zorunda değildir. Örneğin 12, 18, 24 için EBOB 6, EKOK 72’dir; çarpımları 432 iken sayıların çarpımı 5.184’dir. Bu yüzden araç, ikiden çok sayı girdiğinizde bu denetimi bilerek göstermez.

Aralarında asal sayılar

İki sayının ortak asal çarpanı yoksa EBOB’ları 1 olur; bu sayılara aralarında asal denir. 8 ve 15 böyledir: 8 = 2³, 15 = 3 × 5. Paylaştıkları hiçbir asal olmadığı için EBOB = 1.

Bu durumda EKOK doğrudan çarpımlarına eşittir: EKOK(8, 15) = 120. Özdeşlikten de aynı sonuç çıkar, çünkü EBOB 1 olunca EKOK = a × b kalır.

Aralarında asal olmak, sayıların kendilerinin asal olması demek değildir. 8 ve 15 ikisi de bileşik sayıdır, ama ortak çarpanları yoktur.

EBOB ve EKOK nerede işe yarar?

Problemlerde hangisinin isteneceğini ayırt etmek, çoğu öğrencinin asıl zorlandığı yerdir. Pratik bir ölçüt var: bir şeyi parçalara ayırıyorsanız EBOB, bir şeyi tekrarlayıp buluşturuyorsanız EKOK.

EBOB gerektiren tipik sorular:

• Boyutları farklı iki kumaş parçasını, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta en uzun parçalara bölmek.
• Farklı sayıda kalem ve silgiyi, her çantada eşit sayıda olacak biçimde en çok kaç çantaya dağıtabileceğini bulmak.
• Bir kesri sadeleştirmek: pay ile paydanın EBOB’una bölmek kesri en sade hâline getirir.

EKOK gerektiren tipik sorular:

• Biri 12, diğeri 18 dakikada bir kalkan iki otobüsün aynı anda tekrar kalkması için geçmesi gereken süre.
• Paydaları farklı kesirleri toplarken kullanılacak ortak payda.
• Farklı aralıklarla yanıp sönen ışıkların yeniden birlikte yanacağı an.

Kesirlerle çalışırken ikisine de aynı anda ihtiyaç duyulur: toplama ve çıkarmada paydaların EKOK’u, sonucu sadeleştirmede pay ile paydanın EBOB’u kullanılır. Ondalık ve yüzde dönüşümleri için yüzde hesaplama aracımıza, uzun işlemler için hesap makinesine bakabilirsiniz.

Sık sorulan sorular

EBOB ile OBEB arasında fark var mı?

Yoktur, ikisi aynı kavramın iki yazımıdır. EBOB “en büyük ortak bölen”, OBEB “ortak bölenlerin en büyüğü” demektir. Aynı şekilde EKOK ve OKEK de aynı şeydir. Hangi kısaltmanın kullanıldığı ders kitabına göre değişir.

İkiden fazla sayının EBOB ve EKOK’u bulunur mu?

Bulunur. Asal çarpan kuralı aynen işler: EBOB için hepsinde ortak olan asalların en küçük üsleri, EKOK için herhangi birinde geçen asalların en büyük üsleri alınır. Araç en fazla 10 sayıyı birlikte hesaplar. Tek değişen, iki sayıya özgü EBOB × EKOK özdeşliğinin artık geçerli olmamasıdır.

Bir sayı diğerini tam bölüyorsa sonuç ne olur?

EBOB küçük sayı, EKOK büyük sayı olur. Örneğin 5 ile 25’te EBOB 5, EKOK 25’tir. Küçük sayı zaten büyüğün böleni olduğu için ortak bölenlerin en büyüğü kendisidir.

Sıfırın EBOB ve EKOK’u var mıdır?

Sıfırın her sayı bir bölenidir, ama sıfırın katları arasında “en küçük” pozitif bir ortak kat bulunamaz. Bu yüzden EKOK sıfırla tanımsız kalır ve araç sıfır girilen hesabı kabul etmez. Ortaokul müfredatında da EBOB ve EKOK pozitif tam sayılar için tanımlanır.

Araç neden çok büyük sayılarda sonuç vermiyor?

EKOK çok hızlı büyür ve belli bir noktadan sonra tarayıcının kesin olarak tutabileceği tam sayı sınırını aşar. Bu sınırın ötesinde hesap sessizce yanlış sonuç üretir. Araç, yanlış bir sayı göstermektense hesabı durdurup sizi uyarmayı tercih eder.

Öklid algoritmasını mı yoksa asal çarpanları mı kullanmalıyım?

Sınavda soru “asal çarpanlarına ayırarak bulunuz” diyorsa birincisini kullanmanız beklenir. Serbest bırakıldığında küçük sayılarda asal çarpan yöntemi daha görsel, büyük sayılarda Öklid çok daha hızlıdır. Araç ikisini birden gösterdiği için hangisi isteniyorsa onu yazabilirsiniz.

Bu hesaplayıcı sonucu iki ayrı yöntemle hesaplayıp karşılaştırır: asal çarpan tablosundan bulunan değer ile Öklid algoritmasından gelen değer birbirini tutmazsa sonuç gösterilmez. Böylece ekrana yalnız kendi içinde doğrulanmış bir cevap gelir.