Kombinasyon, bir topluluktan belirli sayıda eleman seçerken sıranın önemli olmadığı durumları sayar. Permütasyon ise aynı seçimde sıranın da önemli olduğu durumları. Aradaki farkı bir örnek anlatır: 5 kişiden 2’sini bir komisyona seçiyorsanız 10 farklı seçim vardır (Ali–Ayşe ile Ayşe–Ali aynı komisyondur); ama 5 kişiden birini başkan, birini yardımcı seçiyorsanız 20 farklı sonuç çıkar, çünkü kimin başkan olduğu değişir.
Aşağıdaki araca n (toplam eleman) ve r (seçilecek eleman) değerlerini girin; kombinasyon, permütasyon, tekrarlı seçimler ve faktöriyel aynı anda hesaplanır. Sonuçların tamamı tam sayıdır — hesap büyük sayı aritmetiğiyle yapılır, yuvarlama yoktur.
Kombinasyon formülü
n elemanlı bir kümeden r elemanın kaç farklı şekilde seçilebileceği şu bağıntıyla bulunur:
C(n, r) = n! / ( r! × (n − r)! )
Gösterimi kaynağa göre değişir: C(n, r), nCr ya da binom katsayısı yazımıyla “n’in r’lisi” hepsi aynı sayıyı anlatır. Formülün mantığı basittir: önce sıralı seçimlerin sayısı bulunur, sonra aynı elemanların kaç farklı sırayla dizilebileceğine (r!) bölünerek sıra farkı ortadan kaldırılır.
Permütasyon formülü
P(n, r) = n! / (n − r)!
Permütasyonda bölme yalnız seçilmeyen elemanlar için yapılır; seçilenlerin sırası korunduğu için r!’e bölünmez. Bu yüzden P(n, r) her zaman C(n, r)’den büyük ya da ona eşittir; aradaki oran tam olarak r!’dir.
Faktöriyel nedir?
n! (“n faktöriyel”), 1’den n’e kadar olan tam sayıların çarpımıdır: 6! = 1×2×3×4×5×6 = 720. n elemanın tamamının kaç farklı sırayla dizilebileceğini verir. Tanım gereği 0! = 1‘dir; hiç eleman içermeyen bir dizilişin tek bir yolu vardır (hiçbir şey yapmamak) ve bu kabul, kombinasyon formülünün r = 0 ile r = n uçlarında da doğru çalışmasını sağlar.
Faktöriyel çok hızlı büyür: 10! = 3.628.800 iken 20! = 2.432.902.008.176.640.000, 100! ise 158 basamaklı bir sayıdır. Araç bu sayıları son basamağına kadar doğru hesaplar; ekranda uzun sonuçlar kısaltılarak gösterilir ama değer değişmez.
Kombinasyon mu permütasyon mu? Karar tablosu
| Durum | Sıra önemli mi? | Aynı eleman tekrar seçilebilir mi? | Hesap |
|---|---|---|---|
| Loto kuponu, komisyon üyeliği, takım seçimi | Hayır | Hayır | Kombinasyon C(n, r) |
| Başkan–yardımcı seçimi, yarış sıralaması, şifre (harf tekrarsız) | Evet | Hayır | Permütasyon P(n, r) |
| Rakamlı PIN, plaka, tekrar edebilen şifre | Evet | Evet | Tekrarlı permütasyon nr |
| Dondurma topu seçimi, poşete atılan meyveler | Hayır | Evet | Tekrarlı kombinasyon C(n+r−1, r) |
| Herkesin sıraya dizilmesi | Evet | Hayır (hepsi kullanılır) | Faktöriyel n! |
Bu dört hesabın hepsi araçta aynı anda gösterilir, çünkü sorunun hangi kutuya düştüğü çoğu zaman ancak sonuçlar yan yana görülünce netleşir.
Örneklerle hesap
Çılgın Sayısal Loto: 90 sayıdan 6 tanesi
Sıra önemsizdir (kuponda sayıların yazılış sırası sonucu değiştirmez) ve bir sayı iki kez seçilemez; bu bir kombinasyondur: C(90, 6) = 622.614.630. Yani tek kolonla büyük ikramiyeyi tutturma olasılığı 622.614.630’da birdir. Süper Loto’da 60 sayıdan 6 seçilir: C(60, 6) = 50.063.860.
⚠️ İnternette bu hesap çoğu yerde hâlâ C(49, 6) = 13.983.816 diye geçer. O rakam 2019 öncesinin 6/49 düzenine aittir; oyun “Çılgın Sayısal Loto” adıyla 1–90 aralığına geçtiğinden beri doğru sayı yukarıdakidir — aradaki fark 44 kattan fazladır.
İskambil: 52 karttan 5 kartlık el
C(52, 5) = 2.598.960 farklı el vardır. Elinizdeki kartların size hangi sırayla geldiği eli değiştirmediği için burada da kombinasyon kullanılır.
10 kişiden 3 kişilik seçim
Sadece “kimler seçildi” soruluyorsa C(10, 3) = 120. Ama seçilen üç kişiye birinci, ikinci, üçüncü sırası veriliyorsa P(10, 3) = 720 olur — tam 6 katı, çünkü her üçlü kendi içinde 3! = 6 farklı sırayla dizilebilir.
4 haneli rakamlı şifre
Her hane 0–9 arasında ve rakamlar tekrar edebilir: 104 = 10.000 farklı şifre. Bu, tekrarlı permütasyondur.
4 çeşit dondurmadan 2 top
Aynı çeşitten iki top alınabilir ve topların sırası önemsizdir: C(4+2−1, 2) = 10 farklı seçim. Bu, tekrarlı kombinasyondur ve r’nin n’den büyük olmasına da izin verir.
Kombinasyon tablosu (Pascal üçgeni)
Küçük n değerleri için C(n, 0)’dan C(n, n)’e kadar tüm değerler:
| n | C(n, 0) → C(n, n) |
|---|---|
| n = 1 | 1 · 1 |
| n = 2 | 1 · 2 · 1 |
| n = 3 | 1 · 3 · 3 · 1 |
| n = 4 | 1 · 4 · 6 · 4 · 1 |
| n = 5 | 1 · 5 · 10 · 10 · 5 · 1 |
| n = 6 | 1 · 6 · 15 · 20 · 15 · 6 · 1 |
| n = 7 | 1 · 7 · 21 · 35 · 35 · 21 · 7 · 1 |
| n = 8 | 1 · 8 · 28 · 56 · 70 · 56 · 28 · 8 · 1 |
Tablodaki her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır — buna Pascal özdeşliği denir. Her satırın toplamı da 2n‘e eşittir. Araç bu iki özdeşliği ve C(n, r) = C(n, n−r) simetrisini her sürümde binlerce değer üzerinde sınar; bir tanesi bile tutmazsa test kırmızı yanar.
Sonuçlar neden tam sayı olarak veriliyor?
Çoğu hesap makinesi büyük sayıları kayan noktalı sayı olarak tuttuğu için belli bir eşikten sonra sessizce yanlış sonuç verir. Bu eşik sanıldığından yüksektir ve tam yeri şaşırtıcıdır: 22! kayan noktada hâlâ tastamam çıkar (faktöriyellerin sonundaki ikilik çarpanlar sayıyı kayan noktada temsil edilebilir kılar), ilk bozulan 23!’tür. Gerçek değer 25.852.016.738.884.976.640.000 iken kayan noktalı hesap 25.852.016.738.884.978.212.864 der — 17. basamaktan sonrası uydurmadır.
Bu araç hesabın tamamını büyük tam sayı aritmetiğiyle (BigInt) yapar, hiçbir adımda kayan noktaya düşmez. C(300, 150) gibi 89 basamaklı bir sonuç bile son hanesine kadar doğrudur. Ayrıca kombinasyon hesabında bölme, her adımda tam bölünecek biçimde sıralanır; kesirli ara değer hiç oluşmaz.
Bir başka ayrıntı giriş tarafındadır: araca “1.000” yazarsanız hesap yapmaz, uyarı verir. Nokta Türkçe yazımda binlik ayracıdır ama pek çok yerde ondalık ayracıdır; hangisi kastedildiği belirsiz olduğu için araç tahmin yürütmek yerine ayraçsız yazmanızı ister.
İlgili araçlar
Sayma problemlerinden olasılığa geçerken yazı tura simülasyonu ve çekiliş aracı işinize yarayabilir. Diğer matematik araçları: üslü sayı hesaplama, karekök hesaplama, EBOB–EKOK hesaplama, asal sayılar ve standart sapma hesaplama.
Sık sorulan sorular
Kombinasyon ile permütasyon arasındaki fark nedir?
Kombinasyonda seçilen elemanların sırası önemsizdir, permütasyonda önemlidir. 5 kişiden 2’sinin seçimi kombinasyonla 10, başkan–yardımcı olarak seçimi permütasyonla 20 sonuç verir. İkisi arasındaki oran her zaman r! kadardır.
C(n, r) nasıl hesaplanır?
C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!) bağıntısıyla. Örneğin C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120.
0! neden 1’e eşittir?
Boş bir kümeyi dizmenin tek bir yolu vardır ve bu tanım, kombinasyon formülünün r = 0 ile r = n uçlarında doğru sonuç vermesini sağlar: C(n, 0) = C(n, n) = 1.
Sayısal Loto’da kaç farklı kupon vardır?
Çılgın Sayısal Loto’da 1–90 arasından 6 sayı seçildiği için C(90, 6) = 622.614.630 farklı kupon vardır. (2019 öncesindeki 6/49 düzeninde bu sayı 13.983.816 idi.)
r, n’den büyük olabilir mi?
Normal kombinasyon ve permütasyonda olamaz; 5 kişiden 8 kişi seçilemez. Ancak aynı elemanı birden çok kez seçebiliyorsanız (tekrarlı kombinasyon ya da tekrarlı permütasyon) r, n’den büyük olabilir. Araç r > n girildiğinde hata verir ve sizi tekrarlı seçeneğe yönlendirir.