Kesirlerle toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve sadeleştirme — sonucu değil, çözümü de gösterir. Tam sayılı kesir (2 1/3) ve ondalık sayı (0,75) girişi kabul edilir; sonuç en sade kesir, tam sayılı yazım ve ondalık karşılığıyla birlikte verilir.
İçindekiler
- Kesir nasıl yazılır?
- Kesirlerde toplama ve çıkarma
- Kesirlerde çarpma ve bölme
- Kesir sadeleştirme
- Tam sayılı (bileşik) kesir
- Kesrin ondalık karşılığı ve devirli ondalık
- Neden kayan nokta değil, tam kesir?
- Sıkça sorulan sorular
Kesir nasıl yazılır?
Kesri klavyede nasıl yazıyorsanız öyle yazabilirsiniz:
| Yazmak istediğiniz | Klavyede |
|---|---|
| Üç bölü dört | 3/4 |
| İki tam bir bölü üç | 2 1/3 (tam kısım, boşluk, kesir) |
| Eksi üç bölü dört | -3/4 — işaret en başta |
| Tam sayı | 5 |
| Ondalık sayı | 0,75 — virgül ondalık ayırıcıdır |
Payda sıfır olamaz; bu yazım hesaplanmaz, uyarılır: “Payda sıfır olamaz; bir sayı sıfıra bölünemez.” Nokta binlik ayırıcı sayıldığı için 1.000/2 gibi belirsiz bir yazım da sorulur: “"1.000/2" belirsiz: binlik mi ondalık mı? 1000 ya da 1,000 yazın.” Aynı kural karekök hesaplama ve üslü sayı hesaplama araçlarında da geçerlidir.
Kesirlerde toplama ve çıkarma
Paydalar eşit değilse doğrudan toplanamaz — önce ortak payda bulunur. Ortak payda, paydaların EKOK’udur; araç bunu EBOB EKOK hesaplama sayfasındaki yöntemle hesaplar.
1/2 + 1/3 nasıl çözülür:
- Paydaların EKOK’u 6 bulunur.
- Kesirler bu paydaya genişletilir: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6.
- Paylar toplanır, payda aynı kalır: sonuç 5/6 (ondalık karşılığı 0,8(3)).
Çıkarma da aynı yolu izler, yalnız son adımda paylar çıkarılır: 3/4 − 1/6 → ortak payda 12 → sonuç 7/12.
Tam sayılı kesirler önce bileşik kesre çevrilir: 2 1/3 + 1 1/2 = 23/6, yani 3 tam 5/6.
Ondalık sayı ile kesri karıştırabilirsiniz: 0,75 + 1/4 = 1.
Kesirlerde çarpma ve bölme
Çarpmada ortak paydaya gerek yoktur — bu, en çok karıştırılan noktadır. Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır, sonra sadeleştirilir:
2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
Bölmede ise ikinci kesir ters çevrilip çarpılır:
1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 2/3 (ondalık karşılığı 0,(6) — parantez içindeki basamak sonsuza kadar tekrar eder)
İkinci kesir sıfırsa bölme tanımsızdır; araç sonuç uydurmaz: “Sıfıra bölme: ikinci kesir sıfır olduğu için bölme tanımsızdır.”
Kesir sadeleştirme
Sadeleştirme, pay ile paydayı ortak bölenlerinin en büyüğüne (EBOB) bölmektir. Aracın sadeleştirme kipi yalnız sonucu değil, hangi sayıya bölündüğünü de yazar:
| Kesir | EBOB | En sade hâli | Ondalık karşılığı |
|---|---|---|---|
| 6/8 | 2 | 3/4 | 0,75 |
| 24/36 | 12 | 2/3 | 0,(6) |
| 100/75 | 25 | 4/3 | 1,(3) |
EBOB 1 ise kesir zaten sadeleşmiştir ve araç bunu açıkça söyler. Sadeleştirmenin arkasındaki hesabın tamamı EBOB EKOK hesaplama sayfasında adım adım anlatılıyor.
Tam sayılı (bileşik) kesir
Payı paydasından büyük kesirler tam sayılı olarak da yazılabilir: 7/3 = 2 tam 1/3. Araç bu yazımı sonuç kesri bileşikse kendiliğinden ekler; hem okulda istenen biçimdir hem de sonucun büyüklüğünü sezmeyi kolaylaştırır.
Ters yönü de doğrudur: tam sayılı kesir yazdığınızda araç önce bileşik kesre çevirir, çünkü dört işlem bileşik kesirle yapılır.
Kesrin ondalık karşılığı ve devirli ondalık
Her kesir bir ondalık sayıya eşittir ama hepsinin ondalık açılımı bitmez. Kural nettir: sadeleşmiş paydada 2 ve 5 dışında çarpan kalmıyorsa açılım sonludur; kalıyorsa devirlidir — belli bir basamaktan sonra aynı dizi sonsuza kadar tekrar eder.
Bu araç devri noktalarla kesip geçmez, parantezle gösterir:
| Kesir | Ondalık karşılığı | Durum |
|---|---|---|
| 3/4 | 0,75 | Sonlu (payda 4 = 2×2) |
| 1/8 | 0,125 | Sonlu (payda 8 = 2×2×2) |
| 1/3 | 0,(3) | Devirli — 3 tekrar eder |
| 1/6 | 0,1(6) | Devir virgülden hemen sonra başlamaz |
| 1/7 | 0,(142857) | Altı basamaklı devir |
| 5/12 | 0,41(6) | Payda 12 = 2×2×3 → devirli |
| 1/99 | 0,(01) | İki basamaklı devir |
Hesap makinesinde 1/3 sonucu 0,333333333 diye görünür; bu yuvarlanmış bir değerdir, kesrin kendisi değildir. Aradaki farkı hesap makinesi sayfasında da açıklıyoruz.
Neden kayan nokta değil, tam kesir?
Bilgisayarlar ondalık sayıları ikilik tabanda yaklaşık tutar. Bunun kesirlerde somut sonucu şudur: 1/3 + 1/3 + 1/3 işlemi kayan noktayla yapıldığında tam 1 etmez, 0,9999999999999998 eder. Bu araç payı ve paydayı ayrı tam sayılar olarak tuttuğu için aynı işlem tam olarak 1 verir.
Aynı yaklaşımı denklem çözme, oran orantı hesaplama, üslü sayı hesaplama ve kombinasyon hesaplama araçlarında da kullanıyoruz: sonuç önce tam hesaplanır, yuvarlama yalnız ekrana yazarken yapılır ve yuvarlandığı söylenir.
Sıkça sorulan sorular
Kesirlerde toplama yaparken neden paydaları da toplayamıyoruz?
Çünkü payda “bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü” söyler, sayılan bir nicelik değildir. 1/2 ile 1/3 farklı büyüklükte parçalardır; toplanabilmeleri için önce aynı büyüklüğe (ortak paydaya) getirilmeleri gerekir. Bu yüzden sonuç 5/6’dır.
Kesir bölme neden ters çevirip çarpma?
Bir sayıya bölmek, o sayının çarpmaya göre tersiyle çarpmakla aynı şeydir. 3/4’ün tersi 4/3’tür; bu yüzden 1/2 ÷ 3/4 işlemi 1/2 × 4/3 = 2/3 olur.
Sonuç neden bazen tam sayı çıkıyor?
Pay paydaya tam bölünüyorsa kesir bir tam sayıya eşittir ve araç onu kesir gibi değil, doğrudan tam sayı olarak yazar. Örneğin 0,75 + 1/4 = 1.
Ondalık sonuçtaki parantez ne anlama geliyor?
Parantez içindeki basamaklar sonsuza kadar tekrar eder. 1/7 = 0,(142857) yazımı, 142857 dizisinin hiç bitmeden tekrarladığını söyler. Bu gösterim kesin ve tamdır; noktalarla kesilmiş bir ondalık ise yuvarlanmıştır.
Sonuçlar doğru mu, nasıl denetleniyor?
İki katmanda: (1) her işlem ters işlemle geri çevrilir ve başlangıç kesrine tam olarak dönmezse sonuç gösterilmez; (2) motorun tamamı, sonuçları Python’un kesirli aritmetiğiyle bağımsız hesaplanan 336 vakayla karşılaştırılarak sınanır.
Hesabın doğruluğu 336 vakalık bağımsız Python karşılaştırması, 369 motor testi ve 29 tarayıcı testiyle ölçülmüştür. Sayılarla çalışmayı sürdürmek için yüzde hesaplama, ortalama hesaplama, asal sayılar ve karekök hesaplama araçlarına bakabilirsiniz.