Karekök Hesaplama: Kesin Sonuç, Sadeleşmiş Kök ve Çözüm

Karekök hesaplama aracı, yazdığınız sayının karekökünü seçtiğiniz ondalık basamağa kadar verir; sayı tam kare değilse kökü sadeleştirir ve çözümü gösterir. Hesap tarayıcınızda yapılır, üye olmanız ya da bir şey indirmeniz gerekmez.

Karekök, karesi verilen sayıyı veren sayıdır: √49 = 7, çünkü 7 × 7 = 49. Aşağıdaki hesaplayıcı karekökü istediğiniz ondalık basamağa kadar verir. Sayı tam kare değilse kökü sadeleştirir (√72 = 6√2) ve kökün hangi iki tam sayı arasında kaldığını gösterir.

Sonuç kesindir. Çoğu hesap makinesi karekökü kayan nokta aritmetiğiyle bulur ve 15-16 anlamlı basamaktan sonrasını doğru veremez. Bu araç tam sayı aritmetiğiyle çalışır, 20 ondalığa kadar her rakamı doğru yazar. Her sonucu da denetler: bulunan kökün karesi girdiyi aşmamalı, bir sonraki değerin karesi aşmalıdır.

1. Karekök hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Araç açıldığında kutuda 72 yazılıdır ve ondalık basamak 6 seçilidir; hiçbir şeyi değiştirmeden düğmeye basarsanız √72 hesaplanır. Kendi sayınız için sırayla şunları yapın:

1. Sayıyı yazın. “Karekökü alınacak sayı” kutusuna sayıyı girin. Ondalık kısmı virgülle ayırın (12,25 gibi) ve binlik ayırıcı kullanmayın. Tam kısım en çok 15, ondalık kısım en çok 10 basamak olabilir.
2. Ondalık basamağı seçin. Listede 0, 2, 4, 6, 10, 15 ve 20 seçenekleri vardır. Günlük hesaplarda 2 ya da 4 basamak çoğu zaman yeter; ödev denetlerken 6 basamak iş görür.
3. İsterseniz hazır örneği deneyin. √2, √72, √144, √12,25 ve √200 düğmeleri sayıyı kutuya yazar ve hesabı hemen yapar. Bu örnekler dört durumu gösterir: irrasyonel kök (√2), sadeleşen kök (√72 ve √200), tam kare (√144) ve ondalık girdi (√12,25).
4. “Karekökü hesapla” düğmesine basın. Sonuç formun altında belirir; sayfa yenilenmez.
5. Sonucu okuyun. İlk satırda kök yazılır: kesin sonuçlarda “=”, yuvarlanmış sonuçlarda “≈” işaretini görürsünüz. Altında sonuç türü, varsa sadeleşmiş kök ve kökün hangi iki tam sayı arasında kaldığı yer alır.

Örneğin 72 için araç √72 ≈ 8,485281 sonucunu, sadeleşmiş biçim olarak 6√2’yi ve 8 < √72 < 9 aralığını verir. 144 yazarsanız sonuç 12 olur ve tür satırında “Tam kare” yazar. 12,25 için kök tam 3,5 çıkar; 200 için sadeleşmiş biçim 10√2, ondalık değer yaklaşık 14,142136 olur.

Kök sadeleşiyorsa sonucun altında çözüm bölümü açılır ve hangi tam kare çarpanın kökün dışına çıktığını gösterir. Tam kare olmayan her sayıda ayrıca Babil yöntemiyle elle yaklaşma tablosu bulunur; tablo yalnız yöntemi anlatmak içindir, üstteki sonucu belirlemez.

2. Karekök nasıl hesaplanır?

Önce sayının tam kare olup olmadığına bakılır. Tam kare ise kök bir tam sayıdır ve iş biter. Değilse iki yol vardır: kökü sadeleştirmek ya da ondalık değerini bulmak. Ödevlerde genellikle sadeleşmiş biçim, ölçü ve mühendislik hesaplarında ondalık değer istenir.

1. Tam kare mi?

1’den 20’ye kadar sayıların kareleri aşağıdadır. Bu tabloyu bilmek hem tam kareyi hemen tanımayı hem de kökün aralığını tahmin etmeyi kolaylaştırır. 1’den 1000’e kadar bütün tam kareleri listelemek ya da bir sayının tam kare olup olmadığını kesin olarak sınamak için tam kare sayılar aracını kullanabilirsiniz.

2. Kökü sadeleştirme

Sayının içindeki en büyük tam kare çarpan bulunur ve kökün dışına çıkarılır. Örneğin 72 = 36 × 2 olduğu için √72 = √36 × √2 = 6√2 olur. En büyük kare çarpanı değil de küçüğünü seçerseniz (72 = 4 × 18 → 2√18) sadeleştirme yarım kalır, çünkü 18’in içinde hâlâ 9 vardır.

Kökün içinde kare çarpan kalmadığında (√2, √3, √15 gibi) sadeleştirme biter. Bu tür kökler irrasyoneldir: ondalık açılımları sonsuza kadar devreder ve hiçbir basamakta tekrar etmez. Bu yüzden ondalık değer her zaman bir basamağa yuvarlanmış değerdir.

3. Hangi iki tam sayı arasında?

Tam kare olmayan bir sayının kökü, iki komşu tam karenin kökleri arasındadır. 50 sayısı 49 ile 64 arasında olduğu için √50, 7 ile 8 arasındadır. Değeri yaklaşık 7,071068. Sınavda hesap makinesi yokken sonucun makul olup olmadığını bu yöntemle denetleyebilirsiniz.

3. Elle karekök bulma: Babil yöntemi

Hesap makinesi olmadan kökü yaklaşık bulmanın en hızlı yolu Babil (Heron) yöntemidir. Bir tahminle başlarsınız; her adımda tahmini, tahmin ile sayı ÷ tahmin değerinin ortalamasıyla değiştirirsiniz: t_yeni = (t + x ÷ t) ÷ 2. Her adımda doğru basamak sayısı kabaca ikiye katlanır.

√10 için 3 ile başlayınca:

Kesin değer 10 basamakta 3,1622776602. Üçüncü adımda tahmin bu değere ulaşmıştır.

4. Sık kullanılan karekök değerleri

Aşağıdaki değerler 6 ondalık basamağa yuvarlanmıştır. Geometride √2 (karenin köşegeni) ve √3 (eşkenar üçgenin yüksekliği) en sık karşılaşılanlardır.

Daha fazla basamak gerektiğinde araçtan 20 basamağa kadar isteyebilirsiniz. Örneğin √2 = 1,41421356237309504880.

5. Ondalık sayıların karekökü

Ondalık sayıda virgülden sonraki basamak sayısı çift ise kök kolay bulunur: √12,25 = 3,5, çünkü 1225’in kökü 35’tir ve virgül iki basamaktan bir basamağa iner. Basamak sayısı tek ise sona bir sıfır eklenir: √0,5 = √0,50, sonuç yaklaşık 0,707107.

Araca ondalık sayıyı virgülle yazın. “1.000” gibi noktalı bir yazım hem bin hem bir tam sayı olarak okunabilir; araç bu durumda tahmin yürütmez, uyarı verir.

6. Negatif sayının karekökü olur mu?

Gerçel sayılarda olmaz, çünkü pozitif ya da negatif hiçbir sayının karesi negatif çıkmaz. Karmaşık sayılarda i = √−1 tanımıyla √−9 = 3i yazılır. Araç negatif girdide sonuç üretmez ve bu açıklamayı gösterir.

7. Köklü sayılarla işlem kuralları

Karekök hesabı çoğu zaman tek bir sayının kökünü almakla bitmez; köklü ifadeleri çarpmak, bölmek ya da toplamak gerekir. Bu işlemlerde dört kural yeterlidir (a ve b negatif olmayan sayılardır):

• Çarpma: √a × √b = √(a × b). Örneğin √2 × √8 = √16 = 4.
• Bölme: b sıfır değilse √a ÷ √b = √(a ÷ b). Örneğin √72 ÷ √2 = √36 = 6.
• Toplama ve çıkarma: Yalnız kök içleri aynı olan terimler toplanır: 3√2 + 5√2 = 8√2. Kök içleri farklıysa önce sadeleştirilir: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
• Kare ile kök: √(a²) = |a|. Yani √((−7)²) = √49 = 7 eder; sonuç −7 değildir.

En sık yapılan hata toplamayı kökün içine taşımaktır: √9 + √16 = 3 + 4 = 7 eder, oysa √(9 + 16) = √25 = 5’tir. Kökler toplama üzerine dağılmaz; yalnız çarpma ve bölme üzerine dağılır. Karekök aynı zamanda bir üs işlemidir: √x, x’in yarımıncı kuvvetidir. Bu yüzden üs kuralları köklü ifadelerde de geçerlidir; kuvvetleri denemek için üslü sayı hesaplama aracını, işlem sonunda çıkan kesirleri sadeleştirmek için kesir hesaplama aracını kullanabilirsiniz.

Büyük bir sayıda kare çarpanı bulmanın düzenli yolu sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3. Çift oluşturan her asal bir kez kökün dışına çıkar (bir çift 2 ve bir çift 3, yani 2 × 3 = 6), eşi olmayan 2 içeride kalır ve sonuç yine 6√2 olur. Asal çarpanlar konusunu asal sayılar sayfasında bulabilirsiniz. Bir kökün neden bitmeyen bir ondalık verdiğini merak ediyorsanız Vikipedi’deki irrasyonel sayı maddesine bakabilirsiniz.

8. Karekök nerelerde kullanılır?

Karekök yalnız matematik dersinin konusu değildir; uzunluk, alan ve ölçme içeren pek çok hesabın son adımıdır. En sık karşılaşılan dört kullanım şunlardır:

• Karenin köşegeni. Köşegen, kenarın √2 katıdır. Kenarı 5 cm olan karenin köşegeni 5√2 = √50 ≈ 7,071068 cm eder.
• Alandan kenar bulma. Karenin kenarı alanının kareköküdür. Alanı 144 m² olan kare bir odanın kenarı √144 = 12 m’dir. Başka şekillerin alanı için alan hesaplama, hacmi için hacim hesaplama araçlarına bakabilirsiniz.
• Dik üçgen. Pisagor teoremine göre hipotenüs, dik kenarların kareleri toplamının kareköküdür. Dik kenarlar 3 ve 4 ise hipotenüs √(9 + 16) = √25 = 5 olur.
• İstatistik. Standart sapma, varyansın kareköküdür; varyans 12,25 ise standart sapma 3,5 eder. Veri listesinden doğrudan hesaplamak için standart sapma hesaplama aracı vardır.

Denklem çözerken de karekök çıkar: x² = 49 gibi bir eşitlikte bilinmeyeni bulmak kök almayı gerektirir ve iki değer verir. Bu tür sorular için denklem çözme aracına, benzer şekillerde kenar oranı kurmak için oran orantı hesaplama aracına bakabilirsiniz. Karekökün ayrıntılı tanımı için Vikipedi’deki karekök maddesi, tam kare sayılar için tam kare maddesi başvuru kaynağıdır.

9. Karekök ile hesap makinesi arasındaki fark

Birden fazla işlemi olan ifadeler için (parantezli işlemler, üs, yüzde) hesap makinesini kullanın. Bu sayfa yalnız karekök için vardır: kesin basamak, sadeleşmiş kök ve çözüm adımları burada verilir. Kesirleri sadeleştirmek için EBOB-EKOK hesaplama ve oran hesapları için yüzde hesaplama araçlarına bakabilirsiniz.

10. Sık sorulan sorular

√2 kaçtır?

√2 ≈ 1,414214 (6 basamak). İrrasyonel bir sayıdır; ondalık açılımı bitmez ve tekrar etmez.

Karekök 0 olur mu?

Evet. √0 = 0, çünkü 0 × 0 = 0. Sıfır, karekökü kendisine eşit olan iki sayıdan biridir; diğeri 1’dir.

Her sayının iki karekökü var mı?

Karesi 49 olan iki sayı vardır: 7 ve −7. Ancak √ işareti asal (negatif olmayan) kökü gösterir, yani √49 = 7. x² = 49 denklemini çözerken iki kökü birlikte yazmanız gerekir: x = ±7.

Karekök nasıl sadeleştirilir?

Sayının içindeki en büyük tam kare çarpan kökün dışına çıkarılır. 72 = 36 × 2 olduğu için √72 = 6√2.

Negatif sayının karekökü var mıdır?

Gerçel sayılarda yoktur, çünkü hiçbir gerçel sayının karesi negatif çıkmaz. Karmaşık sayılarda √−9 = 3i yazılır.