Karekök, karesi verilen sayıyı veren sayıdır: √49 = 7, çünkü 7 × 7 = 49. Aşağıdaki hesaplayıcı karekökü istediğiniz ondalık basamağa kadar verir. Sayı tam kare değilse kökü sadeleştirir (√72 = 6√2) ve kökün hangi iki tam sayı arasında kaldığını gösterir.
Sonuç kesindir. Çoğu hesap makinesi karekökü kayan nokta aritmetiğiyle bulur ve 15-16 anlamlı basamaktan sonrasını doğru veremez. Bu araç tam sayı aritmetiğiyle çalışır, 20 ondalığa kadar her rakamı doğru yazar. Her sonucu da denetler: bulunan kökün karesi girdiyi aşmamalı, bir sonraki değerin karesi aşmalıdır.
Karekök nasıl hesaplanır?
Önce sayının tam kare olup olmadığına bakılır. Tam kare ise kök bir tam sayıdır ve iş biter. Değilse iki yol vardır: kökü sadeleştirmek ya da ondalık değerini bulmak. Ödevlerde genellikle sadeleşmiş biçim, ölçü ve mühendislik hesaplarında ondalık değer istenir.
1. Tam kare mi?
1’den 20’ye kadar sayıların kareleri aşağıdadır. Bu tabloyu bilmek hem tam kareyi hemen tanımayı hem de kökün aralığını tahmin etmeyi kolaylaştırır.
| Kök | Sonuç | Kök | Sonuç |
|---|---|---|---|
| √1 | 1 | √121 | 11 |
| √4 | 2 | √144 | 12 |
| √9 | 3 | √169 | 13 |
| √16 | 4 | √196 | 14 |
| √25 | 5 | √225 | 15 |
| √36 | 6 | √256 | 16 |
| √49 | 7 | √289 | 17 |
| √64 | 8 | √324 | 18 |
| √81 | 9 | √361 | 19 |
| √100 | 10 | √400 | 20 |
2. Kökü sadeleştirme
Sayının içindeki en büyük tam kare çarpan bulunur ve kökün dışına çıkarılır. Örneğin 72 = 36 × 2 olduğu için √72 = √36 × √2 = 6√2 olur. En büyük kare çarpanı değil de küçüğünü seçerseniz (72 = 4 × 18 → 2√18) sadeleştirme yarım kalır, çünkü 18’in içinde hâlâ 9 vardır.
| Kök | Ayrıştırma | Sadeleşmiş |
|---|---|---|
| √8 | √(4 × 2) | 2√2 |
| √12 | √(4 × 3) | 2√3 |
| √18 | √(9 × 2) | 3√2 |
| √20 | √(4 × 5) | 2√5 |
| √27 | √(9 × 3) | 3√3 |
| √32 | √(16 × 2) | 4√2 |
| √45 | √(9 × 5) | 3√5 |
| √48 | √(16 × 3) | 4√3 |
| √50 | √(25 × 2) | 5√2 |
| √72 | √(36 × 2) | 6√2 |
| √75 | √(25 × 3) | 5√3 |
| √98 | √(49 × 2) | 7√2 |
| √125 | √(25 × 5) | 5√5 |
| √200 | √(100 × 2) | 10√2 |
| √288 | √(144 × 2) | 12√2 |
Kökün içinde kare çarpan kalmadığında (√2, √3, √15 gibi) sadeleştirme biter. Bu tür kökler irrasyoneldir: ondalık açılımları sonsuza kadar devreder ve hiçbir basamakta tekrar etmez. Bu yüzden ondalık değer her zaman bir basamağa yuvarlanmış değerdir.
3. Hangi iki tam sayı arasında?
Tam kare olmayan bir sayının kökü, iki komşu tam karenin kökleri arasındadır. 50 sayısı 49 ile 64 arasında olduğu için √50, 7 ile 8 arasındadır. Değeri yaklaşık 7,071068. Sınavda hesap makinesi yokken sonucun makul olup olmadığını bu yöntemle denetleyebilirsiniz.
Elle karekök bulma: Babil yöntemi
Hesap makinesi olmadan kökü yaklaşık bulmanın en hızlı yolu Babil (Heron) yöntemidir. Bir tahminle başlarsınız; her adımda tahmini, tahmin ile sayı ÷ tahmin değerinin ortalamasıyla değiştirirsiniz: tyeni = (t + x ÷ t) ÷ 2. Her adımda doğru basamak sayısı kabaca ikiye katlanır.
√10 için 3 ile başlayınca:
| Adım | Önceki tahmin | Yeni tahmin |
|---|---|---|
| 1 | 3,0000000000 | 3,1666666667 |
| 2 | 3,1666666667 | 3,1622807018 |
| 3 | 3,1622807018 | 3,1622776602 |
| 4 | 3,1622776602 | 3,1622776602 |
| 5 | 3,1622776602 | 3,1622776602 |
Kesin değer 10 basamakta 3,1622776602. Üçüncü adımda tahmin bu değere ulaşmıştır.
Sık kullanılan karekök değerleri
Aşağıdaki değerler 6 ondalık basamağa yuvarlanmıştır. Geometride √2 (karenin köşegeni) ve √3 (eşkenar üçgenin yüksekliği) en sık karşılaşılanlardır.
| Kök | Değer (6 basamak) |
|---|---|
| √2 | 1,414214 |
| √3 | 1,732051 |
| √5 | 2,236068 |
| √6 | 2,449490 |
| √7 | 2,645751 |
| √8 | 2,828427 |
| √10 | 3,162278 |
| √11 | 3,316625 |
| √12 | 3,464102 |
| √13 | 3,605551 |
| √15 | 3,872983 |
| √17 | 4,123106 |
| √20 | 4,472136 |
| √50 | 7,071068 |
| √99 | 9,949874 |
| √1000 | 31,622777 |
Daha fazla basamak gerektiğinde araçtan 20 basamağa kadar isteyebilirsiniz. Örneğin √2 = 1,41421356237309504880.
Ondalık sayıların karekökü
Ondalık sayıda virgülden sonraki basamak sayısı çift ise kök kolay bulunur: √12,25 = 3,5, çünkü 1225’in kökü 35’tir ve virgül iki basamaktan bir basamağa iner. Basamak sayısı tek ise sona bir sıfır eklenir: √0,5 = √0,50, sonuç yaklaşık 0,707107.
Araca ondalık sayıyı virgülle yazın. “1.000” gibi noktalı bir yazım hem bin hem bir tam sayı olarak okunabilir; araç bu durumda tahmin yürütmez, uyarı verir.
Negatif sayının karekökü olur mu?
Gerçel sayılarda olmaz, çünkü pozitif ya da negatif hiçbir sayının karesi negatif çıkmaz. Karmaşık sayılarda i = √−1 tanımıyla √−9 = 3i yazılır. Araç negatif girdide sonuç üretmez ve bu açıklamayı gösterir.
Karekök ile hesap makinesi arasındaki fark
Birden fazla işlemi olan ifadeler için (parantezli işlemler, üs, yüzde) hesap makinesini kullanın. Bu sayfa yalnız karekök için vardır: kesin basamak, sadeleşmiş kök ve çözüm adımları burada verilir. Kesirleri sadeleştirmek için EBOB-EKOK hesaplama ve oran hesapları için yüzde hesaplama araçlarına bakabilirsiniz.
Sık sorulan sorular
√2 kaçtır?
√2 ≈ 1,414214 (6 basamak). İrrasyonel bir sayıdır; ondalık açılımı bitmez ve tekrar etmez.
Karekök 0 olur mu?
Evet. √0 = 0, çünkü 0 × 0 = 0. Sıfır, karekökü kendisine eşit olan iki sayıdan biridir; diğeri 1’dir.
Her sayının iki karekökü var mı?
Karesi 49 olan iki sayı vardır: 7 ve −7. Ancak √ işareti asal (negatif olmayan) kökü gösterir, yani √49 = 7. x² = 49 denklemini çözerken iki kökü birlikte yazmanız gerekir: x = ±7.